已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）与直线x+y-1=0交于A、B两点,|AB|=2√2,AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是√2/2,求椭圆方程

Question

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）与直线x+y-1=0交于A、B两点,|AB|=2√2,AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是√2/2,求椭圆方程

Answer 1

设A（x1,1-x1）,B(x2,1-x2)
将直线x+y-1=0代入椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）消去y并整理得：（1/a²+1/b²）x²-2x/b²+1/b²-1=0 由韦达定理：x1+x2=2a²/（a²+b²）①,x1x2=(a²-a²b²)/（a²+b²）②
|AB|=√[（x2-x1）²+（1-x2-1+x1）²]=√|x2-x1|=2√2,所以|x2-x1|=1
又|x2-x1|²=（x2+x1）²-4x1x2=1 ③
AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是（2-x1-x2）/（x1+x2）=2/（x1+x2）-1=√2/2 ④
将①,②代入③.④可以解得a²=2,b²=√2
所以椭圆方程x²/2+y²/√2=1