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求救!一道高数题(用微分解)谢谢!设在一小岛上饲养梅花鹿,开始时只有10只.由于受到食物、生存空间等环境因素的限制,最多只能生存2500.已知鹿的处群数量N(t)的增长速度与“剩余空间
题目详情
求救!一道高数题(用微分解)谢谢!
设在一小岛上饲养梅花鹿,开始时只有10只.由于受到食物、生存空间等环境因素的限制,最多只能生存2500.已知鹿的处群数量N(t)的增长速度与“剩余空间”(2500-N)成正比,5年后鹿群数量990只,试求鹿群数量N(t)的函数表达式.
设在一小岛上饲养梅花鹿,开始时只有10只.由于受到食物、生存空间等环境因素的限制,最多只能生存2500.已知鹿的处群数量N(t)的增长速度与“剩余空间”(2500-N)成正比,5年后鹿群数量990只,试求鹿群数量N(t)的函数表达式.
▼优质解答
答案和解析
鹿的处群数量N(t)的增长速度与“剩余空间”(2500-N)成正比
dN(t)/dt=k(2500-N(t))
则微分方程为一阶非齐次方程:
则
N(t)=e^(-kt)(C+2500e^(kt))=Ce^(-kt)+2500
开始时只有10只
5年后鹿群数量990只
带入得:
C+2500=10
Ce^5k+2500=990
则,C=-2490
k=-0.1
所以:N(t)=2500-2490e(-0.1t)
dN(t)/dt=k(2500-N(t))
则微分方程为一阶非齐次方程:
则
N(t)=e^(-kt)(C+2500e^(kt))=Ce^(-kt)+2500
开始时只有10只
5年后鹿群数量990只
带入得:
C+2500=10
Ce^5k+2500=990
则,C=-2490
k=-0.1
所以:N(t)=2500-2490e(-0.1t)
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