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一个正四面体的棱长是1,则侧棱与底面所成的角的正切值
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一个正四面体的棱长是1,则侧棱与底面所成的角的正切值
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答案和解析
一个正四面体的棱长是1,则侧棱与底面所成的角的正切值
【解】所谓正四面体就是一个三棱锥,其四个面都是正三角形,且三棱锥的顶点在底面上的射影为底面三角形的几何中心.
由于底面为正三角形,则三角形的重心、垂心、内心、外心合一,是几何中心.由垂心的性质求的正三角形的高为：1*（√3/2）=√3/2（这个高也是中线的长度）
由重心的性质,该点到三角形顶点的长度等于中线的2/3,也就是高的2/3
所以正四面体顶点在底面上射影到底面顶点的距离为：√3/3
由勾股定理可求正四面体的高：√（1-1/3）=√6/3
侧棱与底面夹角的正切=（√6/3)/(√3/3)=√2
【OK】
【解】所谓正四面体就是一个三棱锥,其四个面都是正三角形,且三棱锥的顶点在底面上的射影为底面三角形的几何中心.
由于底面为正三角形,则三角形的重心、垂心、内心、外心合一,是几何中心.由垂心的性质求的正三角形的高为：1*（√3/2）=√3/2（这个高也是中线的长度）
由重心的性质,该点到三角形顶点的长度等于中线的2/3,也就是高的2/3
所以正四面体顶点在底面上射影到底面顶点的距离为：√3/3
由勾股定理可求正四面体的高：√（1-1/3）=√6/3
侧棱与底面夹角的正切=（√6/3)/(√3/3)=√2
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