半径为R的内接正12和24边形周长和面积快

Question

半径为R的内接正12和24边形周长和面积
快

Answer 1

半径为R的内接正12边形的一边所对的圆心角的度数为:360/12=30度,则半径为R,顶角为30度的等腰三角形的二底角为75度,
因为cos75=cos(30+45)=cos30*cos45-sin30*sin45=√3/2*√2/2-1/2*√2/2=(√6-√2)/4,
令,正12边形的边长为a,
则有:cos75=(a/2)/R,
a=2*cos75*R=(√6-√2)R/2,
则内接正12边形的周长为:12a=6(√6-√2)R,
内接正12边形的面为:12*1/2*sin30*R^2=3R^2.
半径为R的内接正24边形一边所对的圆心角为:360/24=15度,
设,内接正24边形的边长为b,
cos15=cos(45-30)=cos45*cos30+sin45*sin30=(√6+√2)/4.
b^2=2R^2-2*R^2*cos15=R^2(4-√6-√2)/2,
b=R√(4√2-√6-2)/2,
24边形周长为:24*b=12R√(4√2-√6-2)/2,
内接正24边形的面为:24*1/2*sin15*R^2=12*cos75*R^2=3R^2(√6-√2).