在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PD垂直底面ABCD.PD等于DC.点E是PC的中点,点F在PB上,且EF垂直PB,求证：PB垂直平面DEF求二面角C－PB－D的大小

Question

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PD垂直底面ABCD.PD等于DC.点E是PC的中点,点F在PB上,且EF
垂直PB,求证：PB垂直平面DEF
求二面角C－PB－D的大小

Answer 1

1,证明：∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥DB,PD⊥DC,PD⊥DB．
又∵BC⊥DC,PD∩DC=D,
∴BC⊥平面PDC．
∴PC是PB在平面PDC内的射影．
∵PD⊥DC,PD=DC,点E是PC的中点,
∴DE⊥PC．
由三垂线定理知,DE⊥PB．
∵DE⊥PB,EF⊥PB,DE∩EF=E,
∴PB⊥平面EFD．
2以点D为坐标原点,DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系
D（0,0,0）,A（2,0,0）,B（2,2,0）,
C（0,2,0）,P（0,0,2）
∵PB⊥平面EFD,∴PB⊥FD．
又∵EF⊥PB,FD∩EF=F,∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角
设F（x,y,z）,则 PF=（x,y,z-2）,DF=（x,y,z）
∵PF∥PB,DF⊥PB
∴ PF=k PB,PB• DF=0,
x=y=（-z-2）=2k,x+y-z=0
k= 1/3,x=y= 2/3,z= 4/3
∴F（ 2/3,2/3,4/3）
FD=（- 2/3,- 2/3,- 4/3）,EF=（- 2/3,1/3,- 1/3）
∵cos∠EFD= FD•FE|FD|•|FE|= 1/2
∴∠EFD=60°．