如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AB=6，PA=5．求：（1）⊙O的半径；（2）sin∠BAC的值．

Question

如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AB=6，PA=5．
求：（1）⊙O的半径；
（2）sin∠BAC的值．

Answer 1

（1）连接PO，OB，设PO交AB于D．
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO．
∴AD=BD=3，PO⊥AB．
∴PD=√(52−32)＝4．
在Rt△PAD和Rt△POA中，
(AD)/(PD)＝(AO)/(PA)=tan∠APD，
∴AO=(AD•PA)/(PD)=(3×5)/(4)=(15)/(4)．
即⊙O的半径为(15)/(4)．
（2）在Rt△AOD中，
DO=√(AO2−AD2)＝√(((15)/(4))2−32)＝(9)/(4)，
∴sin∠BAC=(OD)/(AO)＝((9)/(4))/((15)/(4))＝(3)/(5)．