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1+i^n+i^2n+...+i^2000n＝?
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1+i^n+i^2n+...+i^2000n＝?
▼优质解答
答案和解析
设
S=1+i^n+i^2n+...+i^2000n
则
i^nS=i^n+i^2n+...+i^2000n+i^2001n
两式相减
(1-i^n)S=1-i^2001n
如果n是4的倍数,设n=4k
S=1+1+...+1=2001
如果n不是4的倍数,设n=4k+m m=1,2,3
S=(1-i^2001(4k+m) )/(1-i^(4k+m) )
=(1-i^2001m)/(1-i^m)
=(1-i^m)/(1-i^m)
=1
S=1+i^n+i^2n+...+i^2000n
则
i^nS=i^n+i^2n+...+i^2000n+i^2001n
两式相减
(1-i^n)S=1-i^2001n
如果n是4的倍数,设n=4k
S=1+1+...+1=2001
如果n不是4的倍数,设n=4k+m m=1,2,3
S=(1-i^2001(4k+m) )/(1-i^(4k+m) )
=(1-i^2001m)/(1-i^m)
=(1-i^m)/(1-i^m)
=1
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