求一个正交变换,化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3为标准型.在解题的过程中求得特征值为-1,-1,2,对当特征值为-1时,解方程组（A+E）x=0,取正交的基础解系这里不会了,请老师帮个忙,我做了好久,总

Question

求一个正交变换,化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3为标准型.
在解题的过程中求得特征值为-1,-1,2,对当特征值为-1时,解方程组（A+E）x=0,取正交的基础解系这里不会了,请老师帮个忙,我做了好久,总是想不通.

Answer 1

A=
0 1 1
1 0 1
1 1 0

A+E=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
-->
1 1 1
0 0 0
0 0 0

对应方程 x1+x2+x3=0
(1,-1,0)^T 显然是一个解
与它正交的解有形式 (1,1,x)^T
代入方程 x1+x2+x3=0 确定x=-2
得正交的基础解系 (1,-1,0)^T, (1,1,2)^T

这只是一个小技巧. 正常做法是求出基础解系, 然后正交化.