三角形周长问题,高三以上水平进!一直线过定点(2,1),且与坐标轴构成一个三角形,其周长最小值为?对不起，是和坐标轴正半轴。答案是很好看的，正整数。有简便的解法吗？求导那样的就算了

Question

三角形周长问题,高三以上水平进!
一直线过定点(2,1),且与坐标轴构成一个三角形,其周长最小值为?
对不起，是和坐标轴正半轴。
答案是很好看的，正整数。
有简便的解法吗？求导那样的就算了，你自己肯定也没去求，不是人算的——太复杂！

Answer 1

设经过定点（2,1）的直线方程为y-1=k(x-2)（k＜0）,则这条直线在x轴上的截距为x=2-1/k,在y轴上的截距为y=1-2k,于是三角形的边长为C=2-1/k+1-2k+√[(2-1/k)²+(1-2k)²],即C=3-1/k-2k+√[(2-1/k)²+(1-2k)²],变形为2k+1/k+C-3=√[(2-1/k)²+(1-2k)²],两边分别平方得4k²+1/k²+(C-3)²+4+4k(C-3)+2(C-3)/k=4+1/k²-4/k+1+4k²-4k,整理得(C-3)²-1+4k(C-2)+2(C-1)/k=0,各项同乘k得k(C-3)²-k+4k²(C-2)+2(C-1)=0,即4(C-2)k²+[(C-3)²-1]k+2(C-1)=0.因为k为实数,所以[(C-3)²-1]²-32(C-2)(C-1)≥0,即(C-2)²(C-4)²-32(C-2)(C-1)≥0,因为C-2＞0（知道为什么吗?直观也可看出）,所以上式可变为(C-2)(C-4)²-32(C-1)≥0,(C-2)(C²-8C+16)-32(C-1)≥0,C³-10C²+32C-32-32C+32≥0,C²(C-10)≥0,因为C²＞0,所以C-10≥0,C≥10,故三角形周长的最小值为C=10.