请问那个自由未知量以外的列必须构成一个极大无关组,是为什么呀请说的清楚一点,最好有证明,麻烦你了,呵呵

Question

请问那个自由未知量以外的列必须构成一个极大无关组,是为什么呀
请说的清楚一点,最好有证明,麻烦你了,呵呵

Answer 1

所谓极大无关组,除自身线性无关以外,还能表示其余向量
自由未知量是相对约束未知量.
称其自由,是因为对于它们任取的一组数,都可得到方程组的唯一的一个解向量
比如
AX=0,A=(a1,a2,a3,a4),方程组可表示为 x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=0
并假设a1,a2 是 a1,a2,a3,a4 的一个极大无关组.x3,x4 是自由未知量.
则 a3,a4 可由a1,a2 唯一线性表示
故 a3,a4 的任一线性组合 -x3a3-x4a4 也可由 a1,a2 唯一线性表示
其组合系数加上x3,x4即构成方程组的一个解向量.
若 a1,a2 不是极大无关组
1.a3 可能不能由 a2,a3 线性表示
当x3=1,x4=0时,x1a1+x2a2+a3=0 无解,即得不到原方程组的一个解
2.a1,a2 线性相关
此时,尽管a3 可能可由a1,a2 线性表示,但表示法并不唯一
也就是说当 当x3=1,x4=0时,无法唯一确定 x1,x2 的值
以上情况都与自由未知量的含义矛盾
这样解释可能不是很好理解,你可通过具体例子理解下.
另外,线性方程组的矩阵形式与向量形式,方程组的解与A的列向量线性相关性的关系也要清楚才行