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你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗?以x2-2x-3=0为例,大致过程如下:第一步:将原方程变形为x2-2x=3,即x(x-2)=3.第二步:构造一个长为x,宽为(x-2)的长方形,长比宽大2,且面积
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你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗?以x2-2x-3=0为例,大致过程如下:
第一步:将原方程变形为x2-2x=3,即x(x-2)=3.
第二步:构造一个长为x,宽为(x-2)的长方形,长比宽大2,且面积为3,如图1所示.
第三步:用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间是一个小正方形,如图2所示.
第四步:计算大正方形面积用x表示为___.
由观察可得,大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,得方程___,两边开方可求得:x1=3,x2=-1.
(1)第四步中横线上应填入___;___.
(2)请参考古人的思考过程,解方程x2-x-1=0.
第一步:将原方程变形为x2-2x=3,即x(x-2)=3.
第二步:构造一个长为x,宽为(x-2)的长方形,长比宽大2,且面积为3,如图1所示.
第三步:用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间是一个小正方形,如图2所示.
第四步:计算大正方形面积用x表示为___.
由观察可得,大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,得方程___,两边开方可求得:x1=3,x2=-1.
(1)第四步中横线上应填入___;___.
(2)请参考古人的思考过程,解方程x2-x-1=0.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵大正方形的边长是[x+(x-2)],
∴大正方形面积是:[x+(x-2)]2=(2x-2)2;
∵小正方形的边长是:[x+(x-2)]-2(x-2)=2,长方形的面积为3
又∵大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,
∴(2x-2)2=4×3+22=16;
故答案为:(2x-2)2;(2x-2)2=4×3+22;
(2)第一步:将原方程变形为x2-x=1,即x(x-1)=1.
第二步:构造一个长为x,宽为(x-1)的长方形,长比宽大1,且面积为1.
第三步:用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间是一个小正方形.
第四步:计算大正方形面积用x表示为[x+(x+1)]2.
由观察可得,大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,得方程[x+(x-1)]2=4×1+12,两边开方可求得:x1=
,x2=
.
∴大正方形面积是:[x+(x-2)]2=(2x-2)2;
∵小正方形的边长是:[x+(x-2)]-2(x-2)=2,长方形的面积为3
又∵大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,
∴(2x-2)2=4×3+22=16;
故答案为:(2x-2)2;(2x-2)2=4×3+22;
(2)第一步:将原方程变形为x2-x=1,即x(x-1)=1.
第二步:构造一个长为x,宽为(x-1)的长方形,长比宽大1,且面积为1.
第三步:用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间是一个小正方形.
第四步:计算大正方形面积用x表示为[x+(x+1)]2.
由观察可得,大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,得方程[x+(x-1)]2=4×1+12,两边开方可求得:x1=
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