如图所示，直线y=-3x-5分别交x轴、y轴于A、B两点，直线CD与x轴，y轴分别交于C、D两点，5OC=9OB，∠OCD=45°．（1）求直线CD的解析式；（2）点P（0，t）为线段OB上一点，过点P作x轴的平行线分别交

Question

如图所示，直线y=-3x-5分别交x轴、y轴于A、B两点，直线CD与x轴，y轴分别交于C、D两点，5OC=9OB，∠OCD=45°．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点P（0，t）为线段OB上一点，过点P作x轴的平行线分别交直线AB、CD于点M、N，设MN的长度为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当过D、M、N三点的圆与x轴相切时，求点P的坐标．

Answer 1

（1）在y=-3x-5中，令x=0，解得：y=-5，则B的坐标是（0，-5），则OB=5，
∵5OC=9OB，
∴OB=9，
则B的坐标是（0，-9），
∵直角△OCD中，∠OCD=45°，
∴OC=OD，
∴C的坐标是（9，0）．
设直线CD的解析式是：y=kx+b，则

b＝−9

9k+b＝0

，
解得：

b＝−9

k＝1

，
则直线CD的解析式是：y=x-9；

（2）在y=-3x-5中，令y=t，解得：x=-(t+5)/(3)，
在y=x-9中，令y=t，解得：x=9+t，
则MN=（9+t）+(t+5)/(3)=(4t+32)/(3)，
则函数解析式是：d=(4t+32)/(3)；

（3）M的坐标是：（9+t，t），N的坐标是（-(t+5)/(3)，t），
则MN的中点的横坐标是：(23+t)/(4)，
则圆心M的坐标是（(23+t)/(4)，t），
则MD=√((t+9)2+((23+t)/(4))2)，
根据题意得：（t+9）²+（(23+t)/(4)）²=t²．
解得：t=12

作业帮用户 2016-12-02

问题解析

（1）求得直线y=-3x-5与y轴的交点，则OB的长度即可求解，然后根据5OC=9OB求得OD的长，得到D的坐标，然后根据∠OCD=45°得到△OCD是等腰直角三角形，则C的坐标即可求解，利用待定系数法即可求得直线CD的解析式；
（2）M、N两点的纵坐标都是t，在两个直线解析式中，令y=t，即可求得M、N的横坐标，则MN的长即可求得，即可求得函数解析式；
（3）利用t表示出圆心的坐标，过D、M、N三点的圆与x轴相切时，圆心到x轴的距离，即点的纵坐标等到D的距离，据此即可列方程求得t，则P的坐标即可求解．

名师点评

本题考点：

一次函数综合题．

考点点评：

本题考查了一次函数与直线和圆的位置关系，直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．

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