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有5个质量相同、大小可不计的小木块1、2、3、4、5等距离的依次放在倾角θ=30°的斜面上(如图).斜面在木块2以上的部分是光滑的,以下部分是粗糙的,5个木块与斜面粗糙部分之间的静摩

题目详情
有5个质量相同、大小可不计的小木块1、2、3、4、5等距离的依次放在倾角θ=30°的斜面上(如图).斜面在木块2以上的部分是光滑的,以下部分是粗糙的,5个木块与斜面粗糙部分之间的静摩擦系数都是μ.开始时用手扶着木块1,其余各木块都静止在斜面上.现在放手,使木块1自然下滑并与木块2发生碰撞,接着陆续发生其他碰撞.假设各木块间的碰撞都是完全非弹性的.求μ取何值时木块4能被撞而5不能被撞.
▼优质解答
答案和解析
设小木块的质量为m,木块间的距离为S,木块1与2碰撞前的速度大小为v1,1和2碰撞后共同速度为v2.木块下滑的过程中只有重力对木块做功,据动能定理有:
mgssin30°=
1
2
m
v
2
1
−0    ①
对于1和2碰撞过程,两木块组成的系统动量守恒,取沿斜面向下方向为正方向,根据动量守恒定律得:
mv1=2mv2            ②
12组合体沿斜面下滑时有重力和摩擦力对物体做功,令12组合体与木块3碰撞前的速度为v3根据动能定理有:
2mgssin30°−μ2mgscos30°=
1
2
×2m
v
2
3
1
2
×2m
v
2
2
           ③
12组合体与3碰撞后的123组合体的速度为v4,在此过程中满足动量守恒有:
2mv3=3mv4               ④
123组合体沿斜面下滑时只有重力和摩擦力对组合体做功,令123组合体与物体块4碰撞前的速度为v5,根据动能定理有:
3mgssin30°−μ3mgscos30°=
1
2
×3m
v
2
5
1
2
×3m
v
2
4
     ⑤
123组合体与4碰撞后的123组合体的速度为v6,根据动量守恒有:
3mv5=4mv6    ⑥
1234组合体下滑s时的速度为v7,根据动能定理有:
4mgssin30°−μ4mgscos30°=
1
2
×4m
v
2
7
1
2
×4m
v
2
6
         ⑦
由题意知与木块4碰撞而不与木块5碰撞的条件是:
动摩擦因数最小时:v7=0
当v7=0时,由⑥得v6=
3
4
v5代入⑦得:
1
2
m
v
2
5
4
9
(μ4mgscos30°−4mgssin30°)
由④得v4=
2
3
v
代入⑤得:-
1
2
m
v
2
3
25
4
mgs(sin30°−μcos30°)
由②得
v2=
1
2
v1   
一起代入③得:2mgs(sin30°-μcos30°)=-
25
2
mgs(sin30°−μcos30°)
1
2
×2m×(
v
 
1
2
)2
再代入
1
2
m
v
2
1
=mgssin30°整理得:
30mgssin30°=29μmgscos30°
解之得:μ=0.597
同理可得动摩擦因数最大时v6=0时μ=0.622
综上所述有满足条件的动摩擦因数为0.597≤μ≤0.622
答:当0.597≤μ≤0.622木块4能被撞而5不能被撞.
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