图是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的小网箱．每个小网箱的长为x米，宽为y米．若大网箱的面积为160平方

Question

图是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的小网箱．每个小网箱的长为x米，宽为y米．若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超过15米．
（Ⅰ）设总造价为W元，试求出W关于x的函数关系式；
（Ⅱ）小网箱的长、宽分别为多少米时，可使总造价最低？

Answer 1

（1）依题意得：4x•2y=160，∴xy=20．…（1分）
∵4x≤15，且2y≤15，∴x≤(15)/(4)，y≤(15)/(2)．
又∵y=(20)/(x)≤(15)/(2)．所以(8)/(3)≤x≤(15)/(4)．…（3分）
∴W=（8x+4y）•112+（4x+6y）•96
=（8x+4×(20)/(x)）•112+（4x+6×(20)/(x)）•96
=1280（x+(16)/(x)） （(8)/(3)≤x≤(15)/(4)）…（7分）
（2）由（1）可知W′=1280（1-(16)/(x2)）=1280（(x2−16)/(x2)）
又∵x∈[(8)/(3)，(15)/(4)]，∴W′＜0 …（8分）
所以W（x）在[(8)/(3)，(15)/(4)]上单调递减． …（10分）
所以当x=(15)/(4)时，W最小，此时x=(15)/(4)，y=(16)/(3)．…（12分）
即当小网箱的长与宽分别为(15)/(4)米与(16)/(3)米时，可使总造价最低．…（13分）
（注：若用基本不等式时注意等号取不到，其解法请参照给分．）