如图在平面直角坐标系中,等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上,直线y=3x-4进过如图1,在平面直角坐标系中,等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上,直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A,交y轴于C点,双曲线y=k x 也经过A

Question

如图在平面直角坐标系中,等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上,直线y=3x-4进过
如图1,在平面直角坐标系中,等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上,直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A,交y轴于C点,双曲线y=k
x
也经过A点．
（1）求点A坐标；
（2）求k的值；
（3）若点P为x正半轴上一动点,在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M,使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．
（4）若点P为x负半轴上一动点,在点A的左侧的双曲线上是否存在一点N,使得△PAN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点N的坐标；若不存在,请说明理由．

Answer 1

（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点,AN⊥x轴于N点,△AOB是等腰直角三角形,
∴AM=AN．
设点A的坐标为（a,a）,点A在直线y=3x-4上,
∴a=3a-4,
解得a=2,
则点A的坐标为（2,2）．
设此反比例函数的解析式为y= x/k．将点A（2,2）代入,
求得k=4．
则反比例函数的解析式为y= 4/x．
（2）点A的坐标为（2,2）,在Rt△AMO中,AO²=AM²+MO²=4+4=8．
∵直线AC的解析式为y=3x-4,则点C的坐标为（0,-4）,OC=4．
在Rt△COD中,OC²=OD²+CD²（1）；
在Rt△AOD中,AO²=AD²+OD²（2）；
（1）-（2）,得CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8．
（3）双曲线上是存在一点N（4,1）,使得△PAN是等腰直角三角形．过B作BN⊥x轴交双曲线于N点,连接AN,过A点作AP⊥AN交x轴于P点,则△APN为所求作的等腰直角三角形．
在△AOP与△ABN中,∠OAB-∠PAB=∠PAN-∠PAB,
∴∠OAP=∠BAN,
AO=BA,∠AOP=∠ABN=45°,
∴△AOP≌△ABN（ASA）,
∴AP=AN,
∴△APN是所求的等腰直角三角形．
∵B（4,0）,点N在双曲线y= 4/x上,
∴N（4,1）,则OP=BN=1．
则点N的坐标为（4,1）．