设函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω＞0，−π2＜φ＜π2)，给出下列三个论断：①f（x）的图象关于直线x＝−π6对称；②f（x）的周期为π；③f（x）的图象关于点(π12，0)对称．以其中的两个论断为条件，

Question

f(x)＝sin(ωx+φ)(ω＞0，−(π)/(2)＜φ＜(π)/(2))，给出下列三个论断：
①f（x）的图象关于直线x＝−(π)/(6)对称；
②f（x）的周期为π；
③f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．(π)/(2)ππ22(π)/(2)ππ22
x＝−(π)/(6)对称；
②f（x）的周期为π；
③f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．(π)/(6)ππ66

((π)/(12)，0)对称．
以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．(π)/(12)ππ1212

Answer 1

①

②

⇒③，证明如下．
 由②知ω=2，故f（x）=sin（2x+φ）
 又f（x）的图象关于直线x＝−(π)/(6)对称
 故sin（-(π)/(3)+φ）=±1
-(π)/(3)+φ=2kπ±(π)/(2)，k∈Z
又−(π)/(2)＜φ＜(π)/(2)，对k赋值知，∅=-(π)/(6)
故f（x）=sin（2x-(π)/(6)）
令f（x）=sin（2x-(π)/(6)）=0
可得2x-(π)/(6)=kπ，k∈Z
故有x=(kπ)/(2)+(π)/(12)，k∈Z，即对称中心的坐标是（(kπ)/(2)+(π)/(12)，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
故

①

②

⇒③

①

②

①

②

①

②

①

②

①①①②②②

⇒③，证明如下．
 由②知ω=2，故f（x）=sin（2x+φ）
 又f（x）的图象关于直线x＝−(π)/(6)对称
 故sin（-(π)/(3)+φ）=±1
-(π)/(3)+φ=2kπ±(π)/(2)，k∈Z
又−(π)/(2)＜φ＜(π)/(2)，对k赋值知，∅=-(π)/(6)
故f（x）=sin（2x-(π)/(6)）
令f（x）=sin（2x-(π)/(6)）=0
可得2x-(π)/(6)=kπ，k∈Z
故有x=(kπ)/(2)+(π)/(12)，k∈Z，即对称中心的坐标是（(kπ)/(2)+(π)/(12)，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
故

①

②

⇒③ x＝−(π)/(6)πππ666对称
 故sin（-(π)/(3)+φ）=±1
-(π)/(3)+φ=2kπ±(π)/(2)，k∈Z
又−(π)/(2)＜φ＜(π)/(2)，对k赋值知，∅=-(π)/(6)
故f（x）=sin（2x-(π)/(6)）
令f（x）=sin（2x-(π)/(6)）=0
可得2x-(π)/(6)=kπ，k∈Z
故有x=(kπ)/(2)+(π)/(12)，k∈Z，即对称中心的坐标是（(kπ)/(2)+(π)/(12)，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
故

①

②

⇒③ (π)/(3)πππ333+φ）=±1
-(π)/(3)+φ=2kπ±(π)/(2)，k∈Z
又−(π)/(2)＜φ＜(π)/(2)，对k赋值知，∅=-(π)/(6)
故f（x）=sin（2x-(π)/(6)）
令f（x）=sin（2x-(π)/(6)）=0
可得2x-(π)/(6)=kπ，k∈Z
故有x=(kπ)/(2)+(π)/(12)，k∈Z，即对称中心的坐标是（(kπ)/(2)+(π)/(12)，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
故

①

②

⇒③ (π)/(3)πππ333+φ=2kπ±(π)/(2)，k∈Z
又−(π)/(2)＜φ＜(π)/(2)，对k赋值知，∅=-(π)/(6)
故f（x）=sin（2x-(π)/(6)）
令f（x）=sin（2x-(π)/(6)）=0
可得2x-(π)/(6)=kπ，k∈Z
故有x=(kπ)/(2)+(π)/(12)，k∈Z，即对称中心的坐标是（(kπ)/(2)+(π)/(12)，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
故

①

②

⇒③ (π)/(2)πππ222，k∈Z
又−(π)/(2)＜φ＜(π)/(2)，对k赋值知，∅=-(π)/(6)
故f（x）=sin（2x-(π)/(6)）
令f（x）=sin（2x-(π)/(6)）=0
可得2x-(π)/(6)=kπ，k∈Z
故有x=(kπ)/(2)+(π)/(12)，k∈Z，即对称中心的坐标是（(kπ)/(2)+(π)/(12)，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
故

①

②

⇒③ −(π)/(2)πππ222＜φ＜(π)/(2)πππ222，对k赋值知，∅=-(π)/(6)
故f（x）=sin（2x-(π)/(6)）
令f（x）=sin（2x-(π)/(6)）=0
可得2x-(π)/(6)=kπ，k∈Z
故有x=(kπ)/(2)+(π)/(12)，k∈Z，即对称中心的坐标是（(kπ)/(2)+(π)/(12)，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
故

①

②

⇒③ (π)/(6)πππ666
故f（x）=sin（2x-(π)/(6)）
令f（x）=sin（2x-(π)/(6)）=0
可得2x-(π)/(6)=kπ，k∈Z
故有x=(kπ)/(2)+(π)/(12)，k∈Z，即对称中心的坐标是（(kπ)/(2)+(π)/(12)，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
故

①

②

⇒③ (π)/(6)πππ666）
令f（x）=sin（2x-(π)/(6)）=0
可得2x-(π)/(6)=kπ，k∈Z
故有x=(kπ)/(2)+(π)/(12)，k∈Z，即对称中心的坐标是（(kπ)/(2)+(π)/(12)，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
故

①

②

⇒③ (π)/(6)πππ666）=0
可得2x-(π)/(6)=kπ，k∈Z
故有x=(kπ)/(2)+(π)/(12)，k∈Z，即对称中心的坐标是（(kπ)/(2)+(π)/(12)，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
故

①

②

⇒③ (π)/(6)πππ666=kπ，k∈Z
故有x=(kπ)/(2)+(π)/(12)，k∈Z，即对称中心的坐标是（(kπ)/(2)+(π)/(12)，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
故

①

②

⇒③ (kπ)/(2)kπkπkπ222+(π)/(12)πππ121212，k∈Z，即对称中心的坐标是（(kπ)/(2)+(π)/(12)，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
故

①

②

⇒③ (kπ)/(2)kπkπkπ222+(π)/(12)πππ121212，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点((π)/(12)，0)对称．
故

①

②

⇒③ ((π)/(12)πππ121212，0)对称．
故

①

②

⇒③

①

②

①

②

①

②

①

②

①①①②②②

⇒③