如图所示，把一个圆分成n（n≥2）个扇形，依次记为S1、S2、…、Sn-1，每一个扇形可用红、黄、蓝三种颜色中的任一种涂色，但要求相邻扇形的颜色互不相同，问一共有多少种涂色方法？

Question

_12n-1

Answer 1

设分成n个扇形时，涂法的总数为a_nn（n≥2）
n=2时，S₁1有3种涂法，S₂2与S₁1的颜色不能相同，故对于S₁1的每一种涂法，S₂2仅有两种涂法，故共有a₂2=3×2=6种涂法；
当n＞2时，S₁1有3种涂法，S₂2有两种涂法，S₃3、…、S_nn，依次有两种涂法，故共有3×2^n-1n-1种涂法，但其中S_nn与S₁1的颜色相同时有a_n-1n-1种涂法，故an＝3×2n−1−an−1（n＞2）
∴(an)/(2n)−1=-(1)/(2)（(an−1)/(2n−1)−1）
∴{(an)/(2n)−1}是首项为(1)/(2)，公比为-(1)/(2)的等比数列
∴(an)/(2n)−1=((−1)n)/(2n−1)
∴an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． an＝3×2n−1−an−1（n＞2）
∴(an)/(2n)−1=-(1)/(2)（(an−1)/(2n−1)−1）
∴{(an)/(2n)−1}是首项为(1)/(2)，公比为-(1)/(2)的等比数列
∴(an)/(2n)−1=((−1)n)/(2n−1)
∴an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． n＝3×2n−1−an−1（n＞2）
∴(an)/(2n)−1=-(1)/(2)（(an−1)/(2n−1)−1）
∴{(an)/(2n)−1}是首项为(1)/(2)，公比为-(1)/(2)的等比数列
∴(an)/(2n)−1=((−1)n)/(2n−1)
∴an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． n−1−an−1（n＞2）
∴(an)/(2n)−1=-(1)/(2)（(an−1)/(2n−1)−1）
∴{(an)/(2n)−1}是首项为(1)/(2)，公比为-(1)/(2)的等比数列
∴(an)/(2n)−1=((−1)n)/(2n−1)
∴an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． n−1（n＞2）
∴(an)/(2n)−1=-(1)/(2)（(an−1)/(2n−1)−1）
∴{(an)/(2n)−1}是首项为(1)/(2)，公比为-(1)/(2)的等比数列
∴(an)/(2n)−1=((−1)n)/(2n−1)
∴an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． (an)/(2n)ananann2n2n2nn−1=-(1)/(2)（(an−1)/(2n−1)−1）
∴{(an)/(2n)−1}是首项为(1)/(2)，公比为-(1)/(2)的等比数列
∴(an)/(2n)−1=((−1)n)/(2n−1)
∴an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． (1)/(2)111222（(an−1)/(2n−1)−1）
∴{(an)/(2n)−1}是首项为(1)/(2)，公比为-(1)/(2)的等比数列
∴(an)/(2n)−1=((−1)n)/(2n−1)
∴an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． (an−1)/(2n−1)an−1an−1an−1n−12n−12n−12n−1n−1−1）
∴{(an)/(2n)−1}是首项为(1)/(2)，公比为-(1)/(2)的等比数列
∴(an)/(2n)−1=((−1)n)/(2n−1)
∴an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． (an)/(2n)ananann2n2n2nn−1}是首项为(1)/(2)，公比为-(1)/(2)的等比数列
∴(an)/(2n)−1=((−1)n)/(2n−1)
∴an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． (1)/(2)111222，公比为-(1)/(2)的等比数列
∴(an)/(2n)−1=((−1)n)/(2n−1)
∴an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． (1)/(2)111222的等比数列
∴(an)/(2n)−1=((−1)n)/(2n−1)
∴an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． (an)/(2n)ananann2n2n2nn−1=((−1)n)/(2n−1)
∴an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． ((−1)n)/(2n−1)(−1)n(−1)n(−1)nn2n−12n−12n−1n−1
∴an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． an＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． n＝2[2n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． n−1+(−1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法． n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1n-1+（-1）ⁿn]（n≥2）种涂色方法．