L为x^2+y^2=4, 计算∮L (x-yx^2)dx+(xy^2)dy的值我算到的是8π,不知道对不对是的，是第二类曲线积分 算到π的那位朋友说说你是怎么算的

Question

L为x^2+y^2=4, 计算∮L (x-yx^2)dx+(xy^2)dy的值
我算到的是8π,不知道对不对
是的，是第二类曲线积分
算到π的那位朋友说说你是怎么算的

Answer 1

代入极坐标去算,积分上下限改为0到2π
x=2cosθ,y=2sinθ
∮L (x-yx^2)dx+(xy^2)dy
=∫-2(2cosθ-8sinθcosθ^2)sinθdθ+2(8cosθsinθ^2)cosθdθ
=∫(-4cosθsinθ+32sinθ^2cosθ^2)dθ
=∫(-2sin2θ+8sin2θ^2)dθ
=∫(-2sin2θ-4cos4θ+4)dθ
=8π