三个连续整数的和能被6整除的原因最好用理论分析来证明,不要举例子.对不起，说错了，是三个连续整数的积，是乘积。

Question

三个连续整数的和能被6整除的原因
最好用理论分析来证明,不要举例子.
对不起，说错了，是三个连续整数的积，是乘积。

Answer 1

这类题用数学归纳法很方便的.
首先对于1*2*3,很容易证明它能被六整除.
接着证明当(k-1)*k*(k+1)可以被六整除,则
k*(k+1)*(k+2)也可以被流整除.
k*(k+1)*(k+2)-(k-1)*k*(k+1)=3 k (1 + k),
该题目转化成了k(1+k)一定可以被2整除.
同样用数学归纳法证明,
首先对于1*2,很容易证明它可以被二整除.
接着证明当(k-1)*k可以被二整除,则
k*(k+1)也可以被二整除.
k*(k+1)-(k-1)*k=2k,
所以如果(k-1)*k=2n,n为整数,则
k*(k+1)=2n+2k=2(n+k),n+k为整数.
即前一个数能被二整除则接着的都可以被二整除,显然第一个数能被二整除,所以后面的都能被二整除.
再回过头来看最初的问题:
首先对于1*2*3,很容易证明它能被六整除.
接着证明当(k-1)*k*(k+1)可以被六整除,则
k*(k+1)*(k+2)也可以被流整除.
k*(k+1)*(k+2)-(k-1)*k*(k+1)=3 k*(1 + k),
设(k-1)*k*(k+1)=6m,m为整数,
k*(1 + k)=2n,n为整数,
则
k*(k+1)*(k+2)=6m+6n=6(m+n),(m+n)为整数.
即前一个数能被六整除则接着的都可以被六整除,显然第一个数能被六整除,所以后面的都能被六整除.