已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式．

Question

已知关于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式．

Answer 1

（1）证明：当m=0时，方程变形为x+3=0，解得x=-3；
当m≠0时，△=（3m+1）²-4m•3=（3m-1）²，
∵（3m-1）²≥0，即△≥0，
∴m≠0时，方程总有两个实数解，
∴不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）根据题意得m≠0，
mx²+（3m+1）x+3=0．
（mx+1）（x+3）=0，
解得x₁=-(1)/(m)，x₂=-3，
则抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴的两交点坐标为（-(1)/(m)，0），（-3，0），
而m为正整数，-(1)/(m)也为整数，所以m=1，
所以抛物线解析式为y=x²+4x+3．