若数列an满足对任意n∈n*只有有限个正整数m使得am＜n成立,记这样的m的个数为﹙an﹚*,则得到一个新数列﹛﹙an﹚*﹜例如若数列an是1,2,3,...n...则数列﹛﹙an﹚*﹜是0,1,2,...n-1...已知对任意的n∈n*,

Question

若数列an满足对任意n∈n*只有有限个正整数m使得am＜n成立,记这样的m的个数为﹙an﹚*,则得到一个新数列
﹛﹙an﹚*﹜例如若数列an是1,2,3,...n...则数列﹛﹙an﹚*﹜是0,1,2,...n-1...已知对任意的n∈n*,an=n2,则﹙a5﹚*= ﹙﹙an﹚*﹚*＝

Answer 1

由am = m^2,m满足am < n当且仅当m^2 < n,也即m^2 ≤ n-1.
易知这样的m共有[√(n-1)]个,其中[x]表示不超过x的最大整数.
(a5)* = [√(5-1)] = 2.
由(am)* = [√(m-1)],m满足(am)* < n当且仅当[√(m-1)] < n.
由于[√(m-1)]是不超过√(m-1)的最大整数,这等价于√(m-1) < n,
即m < n^2+1,也即m ≤ n^2.
的m共有n^2个,因此((an)*)* = n^2.
注:如果an是严格单调递增的,其实可以证明((an)*)* = an.