直线方程题目设三条直线l1:x-2y=1.l2:2x+ky=3.l3:3kx+4y=5.且l1,l2,l3三条直线围成一个三角形求k的取值范围

Question

直线方程题目
设三条直线l1:x-2y=1.l2:2x+ky=3.l3:3kx+4y=5.且l1,l2,l3三条直线围成一个三角形求k的取值范围

Answer 1

三条直线有三个不同的交点,即两两之间都是相交的关系,没有平行
所以直线对应向量两两不成比例
即直线对应的向量(2,1) (k,-2) (4,-3k)
两两成比例时,有
k/2=-2/1 k=-4
4/2=-3k/1 k=-2/3
4/k=-3k/(-2) k=±2根号6/3 只要k不等于这些值,直线两两之间必有交点
排除三线共点的情况,即存在非0实数A B使,Al1+Bl2=l3,有系数和常数项对应相等
A+2B=3k
-2A+kB=4
A+3B=5
解得 B=5-3k=(9+3k)/(5+k) 当k=-5时,A B无解,三线不共点
3k^2+13k-16=0 k=1 或 -16/3 此时三线共点
所以当k∉{-4,-2/3,2/3*根号6,-2/3*根号6,1,-16/3},且k∈R时,l1 l2 l3围成三角形