（2007•晋江市质检）如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP

Question

（2007•晋江市质检）如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．
（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）
（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．
（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．

Answer 1

（1）(12−4x)/(3)；


（2）延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由（1）得：PN=(12−4x)/(3)，
则PQ=QN-PN=4-(12−4x)/(3)=(4)/(3)x依题意，
可得：AM=3-x，S=(1)/(2)AM•PQ=(1)/(2)（3-x）•(4x)/(3)=2x-(2)/(3)x²=-(2)/(3)（x-(3)/(2)）²+(3)/(2)
∵0≤x≤1
即函数图象在对称轴的左侧，函数值S随着x的增大而增大．

∴当x=1时，S有最大值，S_最大值=(4)/(3)

（3）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：
①若PM=PA，
∵PQ⊥MA，
∴四边形ABNQ是矩形，
∴QA=NB=x，
∴MQ=QA=x，
又∵DM+MQ+QA=AD
∴3x=3，即x=1
②若MP=MA，则MQ=3-2x，PQ=(4)/(3)x，MP=MA=3-x
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP²=MQ²+PQ²
∴（3-x）²=（3-2x）²+（(4)/(3)x）²，
解得：x=(54)/(43)（x=0不合题意，舍去）
③若AP=AM，
由题意可得：AP=(5)/(3)x，AM=3-x
∴(5)/(3)x=3-x，
解得：x=(9)/(8)
综上所述，当x=1，或x=(54)/(43)，或x=(9)/(8)时，△MPA是等腰三角形．