如图，已知抛物线y=ax2+52x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA

Question

如图，已知抛物线y=ax²+(5)/(2)x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）把A（4，0），B（1，0）代入抛物线的解析式得：

0=16a+10+c

a+(5)/(2)+c=0

，
解得：

a=-(1)/(2)

c=-2

，
则抛物线解析式为y=-(1)/(2)x²+(5)/(2)x-2；
（2）存在，理由如下：
设D的横坐标为t（0<t<4），则D点的纵坐标为-(1)/(2)t²+(5)/(2)t-2，
过D作y轴的平行线交AC于E，连接CD，AD，如图所示，
由题意可求得直线AC的解析式为y=(1)/(2)x-2，
∴E点的坐标为（t，(1)/(2)t-2），
∴DE=-(1)/(2)t²+(5)/(2)t-2-（(1)/(2)t-2）=-(1)/(2)t²+2t，
∴△DAC的面积S=(1)/(2)×（-(1)/(2)t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
当t=2时，S_最大=4，
∴此时D（2，1），△DAC面积的最大值为4．