如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l：y=x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,-1),

Question

如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l：y=x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,-1),

Answer 1

（1）∵直线l：y= 3 4 x+m经过点B（0,-1）, ∴m=-1, ∴直线l的解析式为y= 3 4 x-1, ∵直线l：y= 3 4 x-1经过点C（4,n）, ∴n= 3 4 ×4-1=2, ∵抛物线y= 1 2 x 2 +bx+c经过点C（4,2）和点B（0,-1）, ∴ 1 2 ×42+4b+c＝2 c＝1 , 解得 b＝ 5 4 c＝1 , ∴抛物线的解析式为y= 1 2 x 2 - 5 4 x-1； （2）令y=0,则 3 4 x-1=0, 解得x= 4 3 , ∴点A的坐标为（ 4 3 ,0）, ∴OA= 4 3 , 在Rt△OAB中,OB=1, ∴AB= OA2+OB2 = ( 4 3 )2+12 = 5 3 , ∵DE∥y轴, ∴∠ABO=∠DEF, 在矩形DFEG中,EF=DEcos∠DEF=DE OB AB = 3 5 DE, DF=DEsin∠DEF=DE OA AB = 4 5 DE, ∴p=2（DF+EF）=2（ 4 5 + 3 5 ）DE= 14 5 DE, ∵点D的横坐标为t（0＜t＜4）, ∴D（t, 1 2 t 2 - 5 4 t-1）,E（t, 3 4 t-1）, ∴DE=（ 3 4 t-1）-（ 1 2 t 2 - 5 4 t-1）=- 1 2 t 2 +2t, ∴p= 14 5 ×（- 1 2 t 2 +2t）=- 7 5 t 2 + 28 5 t, ∵p=- 7 5 （t-2） 2 + 28 5 ,且- 7 5 ＜0, ∴当t=2时,p有最大值 28 5 ； （3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°, ∴A 1 O 1 ∥y轴时,B 1 O 1 ∥x轴,设点A 1 的横坐标为x, ①如图1,点O 1 、B 1 在抛物线上时,点O 1 的横坐标为x,点B 1 的横坐标为x+1, ∴ 1 2 x 2 - 5 4 x-1= 1 2 （x+1） 2 - 5 4 （x+1）-1, 解得x= 3 4 , ②如图2,点A 1 、B 1 在抛物线上时,点B 1 的横坐标为x+1,点A 1 的纵坐标比点B 1 的纵坐标大 4 3 , ∴ 1 2 x 2 - 5 4 x-1= 1 2 （x+1） 2 - 5 4 （x+1）-1+ 4 3 , 解得x=- 7 12 ． 综上所述,点A 1 的横坐标为 3 4 或- 7 12 ．