已知函数f(x)=-x^3+ax^2-4(a∈R)（1)若a=2,设f(x)的导函数是f’(x),且m,n∈〔-1,1〕时,求f(m)+f'(n)最小值（2）若存在x0∈(0,+∞),使f(X0）＞0,求a的取值范围

Question

已知函数f(x)=-x^3+ax^2-4(a∈R)
（1)若a=2,设f(x)的导函数是f’(x),且m,n∈〔-1,1〕时,求f(m)+f'(n)最小值
（2）若存在x0∈(0,+∞),使f(X0）＞0,求a的取值范围

Answer 1

1.由f'(x)=-3x^2+4x=0,得（-1,1)内唯一极小值点x=0,故f(m)最小值为f(0)=-4
f'(n)=-3n^2+4n=-3(n-2/3)^2+4/3(n∈〔-1,1〕),当n=2/3时取最小值4/3
故f(m)+f'(n)最小值为-4+4/3=-8/3
2.只需x∈（0,+∞）时,f(x)最大值>0即可
f'(x)=-3x^2+2ax=-x(3x-2a)
若a≤0,f'(x)≤0,f(x)在（0,+∞）为减函数,最大值0,f'(x)在（0,2a/3)为增函数,（2a/3,+∞)为减函数,在x=2a/3出取最大值f(2a/3)
由f(2a/3)>0,解得a>3