已知函数f（x）=mlnx（m∈R）．（1）若函数y=f（x）+x的最小值为0，求m的值；（2）设函数g（x）=f（x）+mx2+（m2+2）x，试求g（x）的单调区间．

Question

已知函数f（x）=mlnx（m∈R）．
（1）若函数y=f（x）+x的最小值为0，求m的值；
（2）设函数g（x）=f（x）+mx²+（m²+2）x，试求g（x）的单调区间．

Answer 1

（1）y=f（x）+x
=mlnx+x，
f'（x）=(m)/(x)+1=0，
∴m=-x₀，
∵函数y=f（x）+x的最小值为0，
∴-x₀lnx₀+x₀=0，
∴m=x₀=(1)/(e)；
（2）g（x）=f（x）+mx²+（m²+2）x
=mlnx+mx²+（m²+2）x，
∴g'（x）=((mx+1)(2x+m))/(x)，
当m=0时，g（x）=2x，定义域内递增；
当m≠0时，
令g'（x）=0，
∴x=-(1)/(m)或x=-(m)/(2)
当m>0时，g'（x）>0，g（x）定义域内递增；
当m<0时，
 当m>-√(2)时，函数的增区间为（0，-(m)/(2)）u（-(1)/(m)，+∞），减区间为（-(m)/(2)，-(1)/(m)）；
 当m<-√(2)时，函数的增区间为（0，-(1)/(m)）u（-(m)/(2)，+∞），减区间为（-(1)/(m)，-(m)/(2)）；
当m=-√(2)时，定义域内递增．