设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，a3+a5=14．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1anan+1，若{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<12．

Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₉=81，a₃+a₅=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=(1)/(anan+1)，若{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n<(1)/(2)．

Answer 1

（1）∵{a_n}等差数列，
由S₉=9a₅=81，得a₅=9．
又由a₃+a₅=14，得a₃=5．
由上可得等差数列{a_n}的公差d=2．
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n-1．
（2）证明：由bn=(1)/(anan+1)=(1)/((2n-1)(2n+1))=(1)/(2)((1)/((2n-1))-(1)/((2n+1)))．
得Tn=(1)/(2)(1-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(5)+…+(1)/(2n-1)-(1)/(2n+1))=(1)/(2)(1-(1)/(2n+1))<(1)/(2)．