在等比数列{an}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|an-4|}的前n项和Sn．

Question

在等比数列{a_n}中，已知a₄=8a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|a_n-4|}的前n项和S_n．

Answer 1

（I）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₄=8a₁，∴a1q3=8a₁，a₁≠0，解得q=2．
又a₁，a₂+1，a₃成等差数列，∴2（a₂+1）=a₁+a₃，∴2（2a₁+1）=a₁（1+2²），解得a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）n=1时，a₁-4=-2<0，∴S₁=2．
当n≥2时，a_n-4≥0．
∴数列{|a_n-4|}的前n项和S_n=2+（a₂-4）+（a₃-4）+…+（a_n-4）
=2+2²+2³+…+2ⁿ-4（n-1）=(2(2n-1))/(2-1)-4（n-1）=2ⁿ⁺¹-4n+2．
∴S_n=

2，n=1

2n+1-4n+2，n≥2

．