利用导数解决问题将长为L的铁丝剪成两段,各围成长于宽之比为2；1及3：2的矩形,那么面积之和的最小值为?答案是3L^2/104 请问是怎么解得,解题过程是什么,

Question

利用导数解决问题
将长为L的铁丝剪成两段,各围成长于宽之比为2；1及3：2的矩形,那么面积之和的最小值为?
答案是3L^2/104 请问是怎么解得,解题过程是什么,

Answer 1

设两个矩形的长和宽分别是2x,x及3y,2y,它们的面积之和为S.
根据题意得 2（2x+x）+2(3y+2y)=L.(1)
S=2x²+6y².(2)
由（1）化简得 6x+10y=L.(3)
作辅助函数F（x,y,k）=2x²+6y²+k(6x+10y-L).
∵Fx′（x,y,k）=4x+6k,
Fy′（x,y,k）=12y+10k,
Fk′（x,y,k）=6x+10y-L.
分别令Fx′（x,y,k）=0,Fy′（x,y,k）=0,Fk′（x,y,k）=0.
得4x+6k=0.(4)
12y+10k=0.(5)
6x+10y-L=0.(6)
∴解方程组（4）(5)(6)得 x=9L/104,y=5L/104.
∴当x=9L/104,y=5L/104时,S=2（9L/104）²+6（5L/104）²=3L²/104.
故面积之和的最小值为3L²/104.