关于e^cosx的马克老林展开,要求展到X^4项,教材上这样做:e^cosx=e*e^(cosx-1)=e*(1+cosx-1+0.5*(cosx-1)^2)=e*(1-0.5*x^2+x^4/4!+0.5*(-0.5*x^2)^2)为什么要提出e有人说,不提e就不是在x=0处的展开,也就不是马

Question

关于e^cosx的马克老林展开,要求展到X^4项,教材上这样做:
e^cosx=e*e^(cosx-1)=e*( 1 + cosx -1 +0.5*(cosx-1)^2)
=e*( 1- 0.5*x^2+x^4/4!+ 0.5*( -0.5 *x^2 )^2 )
为什么要提出e 有人说,不提e 就不是在x=0处的展开,也就不是马克老林展开,
但是我觉得马克老林展开是对于任意X都成立的吧,不是一定要x趋于0
另外,如果不提e直接展开结果里就没有e ,这样做结果里有e

Answer 1

啊哈 看懂了 主要是这题本身的原因 迈克劳林级数像这题的确对于所有x成立
但是这个是复合函数, 如果你直接展开你看看 ：首先展开cosx 然后是e^cosx 那是二重级数了,
教材提e的原因是e*( 1 + cosx -1 +0.5*(cosx-1)^2)=e*( 1- 0.5*x^2+x^4/4! + 0.5*( -0.5 *x^2 )^2 )看出问题了没有? 其实这是在0点的近似! e*e^(cosx-1)=e*( 1 + cosx -1 +0.5*(cosx-1)^2)这一步本身就用了无穷小代换!而后面e*( 1 + cosx -1 +0.5*(cosx-1)^2)=e*( 1- 0.5*x^2+x^4/4! + 0.5*( -0.5 *x^2 )^2 )同样用了, 所以就只能在0点展开了 ,如果不在0点,那么就是 e^cosx 复合的二重级数