求一道有关砝码的试题全国数学竞赛题,是附加题3是初中还是高中记不清了,是求每个砝码的重量，9,27......

Answer 1

是这个题目吗?一位商人有一个40磅的砝码,由于跌落在地而碎成4块.后来,称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.
问这4块砝码碎片各重多少?
答案：天平的两个秤盘可区别为砝码盘和称量盘,在砝码盘上只放砝码,而在称量盘上放重物
外还可附加砝码.若想设法用最少块数的砝码去称量,就要把砝码也放到称量盘上.
假如任意取出几块砝码放在盘上,例如,在一个盘上放5 磅砝码和10 磅砝码各一块,
另一个盘上放1 磅、3 磅、4 磅的各一块,那么这些砝码便使前一个秤盘偏重7 磅.
我们只考虑重物和砝码均为整数,也就是说,重物和砝码的重量均为整数磅.
假如有一系列砝码A,B,C,…,把它们适当地分放在两个盘上,就能称出从1 到n
的所有整数磅的重物.如果有一块新砝码P,它的重量p 超过原有砝码的重量总和n,超过
量为原有砝码重量的总和加1：
p – n = n + 1,
或者
p = 2n + 1,
那么,把砝码P 加入砝码组A、B、C、…之后就能称出从1 至p + n = 3n + 1 的所有整数磅
的重物.
事实上,原有砝码组足以称出所有从1 至n 磅的重物,为了称出1 个p + x 或p – x 磅的
重物,这里x 表示从1 到n 的任一个数,把砝码P 放在砝码盘上,再把砝码A,B,C,…
分别放在两个盘上,使砝码盘或称量盘上的重量偏重x 磅.
此法成立后,这个题目就容易解答了.
为了使两个砝码A 和B 能称出最多重量,A 必须是1 磅,B 必须是3 磅,这两个砝码能
称出1,2,3,4 磅的重物.如果选第三块砝码C,使它的重量
c = 2 × 4 + 1 = 9（磅）,
那么用A,B,C 三块砝码就能称出从1 至c + 4 = 9 + 4 = 13 磅的所有重物.
最后,如果选第四块砝码D,使它的重量
d = 2 × 13 + 1 = 27（磅）,
那么,这四块砝码A,B,C,D 便能称出从1 至27 + 13 = 40 磅的所有重物.
结论：这个砝码的四块碎片的重量分别为1,3,9,27 磅.