∫f（2x-t)t dt =x的平方 积分上限是x,下限是0,两边求导可以将x直接带入到f（2x-t)中吗?我一本参考书上是这样给出答案的,但这种做法我以前没看见过,可以这样做吗?

Question

∫f（2x-t)t dt =x的平方 积分上限是x,下限是0,两边求导可以将x直接带入到f（2x-t)中吗?
我一本参考书上是这样给出答案的,但这种做法我以前没看见过,可以这样做吗?

Answer 1

不能,得做变量替换2x－t＝y,t＝0对应y＝2x,t＝x对应y＝x,dt＝－dy,化为
积分（从x到2x）f(y)（2x－y)dy
=x积分（从x到2x）2f(y)dy－积分（从x到2x）yf(y)dy,
然后用微积分基本定理和求导的乘法规则求导得
积分（从x到2x）2f(y)dy+x【4f(2x)－2f(x)】－【4xf(2x)－xf(x)】.
如果学过含参变量的积分,倒是可以用那里面的公式求导.