关于泰勒级数我有一个疑问,书上说的是,在x0的某领域内,具有n+1阶的导数,如果余项趋近于0,则对于任意的x属于x0的这个领域,f（x）在都可以展开成泰勒级数,疑问1 这个定理强调了对任意的x属

Question

关于泰勒级数我有一个疑问,书上说的是,在x0的某领域内,具有n+1阶的导数,如果余项趋近于0,则对于任意的x属于x0的这个领域,f（x）在都可以展开成泰勒级数,
疑问1 这个定理强调了对任意的x属于这个领域,都可以展开成泰勒级数,那么我想问的是,x0可否在这个区间内任意变动,也就是x0在区间内变动时,f（x）还能展开成泰勒级数吗?
疑问2 将函数展开成泰勒级数时,其中有一步是求收敛半径,那么有没有可能求出来的收敛半径内存在某些点收敛但是不收敛于f（x）,从而导致余项不趋近0呢?

Answer 1

首先你要学会严谨地叙述问题,只有把问题讲清楚了才能解决.
如果f(x)在x0的某领域内具有n+1阶的导数,那么f(x)在这个邻域内只能保证n+1阶Taylor展开,并不能进一步让n->oo,也就谈不上Taylor级数.
正确的叙述是：如果f(x)在x0的某个领域内无限可微,并且对此邻域内的任何x,以x0为中心的Taylor展开式的余项在n->oo时都趋于0,那么在此邻域内f(x)和它的Taylor级数相等.
关于疑问1,可以这样讲
如果f(x)在x0的某个邻域内可以(以x0为中心)展开成Taylor级数(也就是f(x)和它的Taylor级数相等的意思),那么在该邻域内任取一点y0,是否存在y0的邻域使得f(x)在此范围内可以(以y0为中心)展开成Taylor级数?
结论是肯定的.仅用实函数比较麻烦（需要用二项式定理展开,再用绝对收敛级数的交换律）,从复分析的角度看比较显然（当然逻辑上讲用到了相对高级的结论）,如果f(x)在x0的邻域O(x0,R)内可以展开成Taylor级数,那么利用幂级数的性质知道该级数的收敛半径至少是R,并且在此邻域内f(x)是全纯函数,取r=R-|y0-x0|,那么y0的邻域O(y0,r)包含于O(x0,R),f(x)在O(y0,r)内是解析函数,当然可以以y0为中心做Taylor展开.所以三楼的回答是有问题的.
关于疑问2,如果f(x)以x0为中心做Taylor展开,收敛半径为R,那么当|x-x0|