求期望值问题,..某军区进行项目1和项目2的考核,每个项目只有一次补考的机会,补考不合格不能进入下一项目的比赛,即被淘汰.现有6名队员,每人项目1合格的概率为2/3,项目2合格的概率为1/2,每

Question

求期望值问题,..
某军区进行项目1和项目2的考核,每个项目只有一次补考的机会,补考不合格不能进入下一项目的比赛,即被淘汰.现有6名队员,每人项目1合格的概率为2/3,项目2合格的概率为1/2,每次考核互不影响.
1、求某队员不被淘汰的概率
2、假设某队员不放弃每一次考核的机会,X表示其参加补考的次数,求X的分布列和数学期望.

Answer 1

1. 题目没有说清楚,什么是淘汰?分情况作答,哪一种情况说中了题意就用那种答案.
(1) 第一轮过,第二轮不过,这样不算淘汰：
则 P(淘汰)=P(项目1考核不合格)*P(项目1补考不合格)
P(淘汰)=(1/3)*(1/3)=1/9
(2)第一轮过而第二轮不过也算淘汰：
对某队员来说：事件[不被淘汰]=[项目1合格]*[项目2合格]
而某项目合格概率为：P[该项合格]=1-P[该项不合格]=1-[考核不合格]*[补考不合格]
所以：P(项目1合格)=1-(1/3)*(1/3)=8/9; P(项目2合格)=1-(1/2)*(1/2)=3/4;
P(不被淘汰)=(8/9)*(3/4)=2/3.
2
X的样本空间={0,1,2}
分情况：
【若X=0】：
说明此人2项考核都一次顺利过关.
即：[项目1一次合格]*[项目2一次合格]
P(x=0)=(2/3)*(1/2)=1/3;
【若x=1】:
(1)第一次没补考,第二次补考(过不过无所谓).
即：[项目1一次合格]*[项目2一次不合格]
(2)第一次补考过了,且第二次没补考；
即：[项目1一次不合格]*[项目1补考合格]*[项目2一次合格]
(3)第一次补考没过.
即：[项目1一次不合格]*[项目1补考不合格]
三种情况下概率分别为：
p(1)=(2/3)*(1/2)=1/3;
p(2)=(1/3)*(2/3)*(1/2)=1/9;
p(3)=(1/3)*(1/3)=1/9.
p(x=1)=p(1)+p(2)+p(3)=5/9.
【若x=2:】
则两次都补考了,但是第一次补考一定过了.否则就被没有机会继续考核了.
也就是: [项目1不合格]*[补考通过]*[项目2不合格][补考爱过不过]
p(x=2)=(1/3)(2/3)(1/2)=1/9.
于是得出x的分布列：
p(x=0)=1/3;
p(x=1)=5/9;
p(x=2)=1/9.
┌——┬———┬———┬———┐
│ x │ 0 │ 1 │ 2 │
├——┼———┼———┼———┤
│ p │ 1/3 │ 5/9 │ 1/9 │
└——┴———┴———┴———┘
期望E(x)=0*(1/3)+1*(5/9)+2*(1/9)=7/9