已知椭圆（x^2）/2+(y^2)/4=1两焦点分别为F1、F2,P是椭圆在第一象限的图像上的一点,并满足向量PF1·PF2=1（向量的数量积是1）,过P做倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.第一问求P点

Question

已知椭圆（x^2）/2+(y^2)/4=1两焦点分别为F1、F2,P是椭圆在第一象限的图像上的一点,并满足向量PF1·PF2=1（向量的数量积是1）,过P做倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.
第一问求P点坐标,我会,是（1,根2）.
第二问要求△PAB面积的最大值.一看答案我就懵了,答案上来就是设AB的方程为：y =根2·x + m,我不明白为什么AB斜率为根2啊~
还有一道关于圆锥曲线轨迹的题,题目我就不赘述了,因为其他方面都明白,只有一点疑问,就是——△AOB中,OC是内角平分线交AB于C,那么AC/CB=AO/OB?有这个关系吗,我够快高三了怎么这个都不知道呢~

Answer 1

设PB的斜率为 K(K>0)
则BP的直线方程为y-√2K=（x-1）.
方程组: y-√2=K（x-1）（1）
x²/2+y²/4=1（2）
由（1）（2）得：（2+k²）x²+2k（√2-k）x+(√2-k）²-4=0
设B（xb,yb）则1+xb=2k(k-√2)/2+k²,
xb={2k(k-√2)/2+k²}-1=k²-2√2k-2/2+k²
同理可得：xa=k²+2√2k-2/2+k²
则：xa-xb=4√2k/2+k²,
ya-yb=-k(xa-1)-k(xb-a)=8k/2+k²
所以：AB的斜率KAB=yA-yB/xA-xB=√2为定值.
第二个
M为BC边中点
过C作CN平行于AB交AM的延长线于N
三角形ABM相似三角形NCM,
AB/NC=BM/CM,
又可证明∠CAN=∠ANC
所以AC=CN,
所以AB／AC=MB／MC