一个袋子中有10种型号的袜子,为确保从中取出20双,至少应取几只

Question

一个袋子中有10种型号的袜子,为确保从中取出20双,至少应取几只

Answer 1

49只
假设取出来的袜子在10种类型的分布依次是c1、c2、...c10,那么袜子总共的双数是[c1/2]、[c2/2]、...[c10/2],其中"[]"表示向下取整.有如下关系：
[c1/2] + [c2/2] + ...[c10/2] >= (c1 - 1)/2 + (c2 - 1)/2 + ...(c10 - 1)/2 = (c1 + c2 + ...c10 - 10)/2
其中等号当前仅当所有的ci都是奇数的时候成立.(c1 + c2 + ...c10)是取出的袜子数
当取出48只的时候,根据上面的不等式,双数大于等于19,也确实存在这种情况：9种类型取出5只,1种类型取出3只
当取出49只的时候,因为ci种必然有个偶数,所以不等号成立,于是袜子的双数>(49 - 10)/2 ,即袜子的双数>=20