关于实数完备性公理的问题书上的公理定义是:如果X和Y是R的非空子集,且具有性质:对于任何x∈X,y∈Y,有x

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你的理解是有问题的,一楼也并未理解该定义.
首先,你对于“实数的中任意两个数,无论多么靠近,都存在一个实数,处于他们之间”所下的“定义”是不正确的：
“对任何x∈R,y∈R”,且x<=y,那么存在c∈R,使“对任何x∈X,y∈Y”,有x<=c<=y
结论中出现的“对任何x∈R,y∈R”和条件冲突,不具有意义,应当改成
对任何x∈R,y∈R,且x<=y,那么存在c∈R,使x<=c<=y
这样才是那句直观叙述的定义.
然后给你解释一下原来的定义的意义.你应该已经有了实数概念,所以你只需要在有此观念的情况下回头去看那个定义讲了些什么.
条件"X和Y是R的非空子集,且具有性质:对于任何x∈X,y∈Y,有x<=y"本意要讲的是把实数集的某个子集划分成两个集合X和Y,X中的任何元素都比Y中的任何元素要小,直观上就是形如
X={x|x<=a外加一些其它条件},Y={y|y>=b外加一些其它条件} (其中a<=b)
的集合X和Y.在这种情况下集合X和Y之间是可以分离开来的,（a=b时才最多有一个公共元素a）,并且c=a是满足结论的.要注意的是结论里的c是用来分割集合X和Y的,这一结论很强,并不是仅仅介于两个实数x和y之间那么简单.
这个定义的来源就是所谓的Dedekind切割.
对于a∈R,
X={x=a|x∈Q}或者X={x<=a|x∈Q},Y={x>a|x∈Q}型的分割方式就叫做有理数的Dedekind切割；
X={x=a|x∈Q}或者X={x<=a|x∈Q},Y={x>a|x∈Q}型的分割方式就叫做有理数的Dedekind切割；
X={x=a|x∈R}或者X={x<=a|x∈R},Y={x>a|x∈R}型的分割方式就叫做实数的Dedekind切割.
一组切割就唯一地确定出一个实数a,习惯上Dedekind切割不允许X和Y相交,不过这个影响不大.
一般来讲从有理数定义实数就是利用有理数的Dedekind切割来实现的,或者理解成实数公理的标准模型.=a|x∈R}或者X={x<=a|x∈R},Y={x>a|x∈R}型的分割方式就叫做实数的Dedekind切割.
一组切割就唯一地确定出一个实数a,习惯上Dedekind切割不允许X和Y相交,不过这个影响不大.
一般来讲从有理数定义实数就是利用有理数的Dedekind切割来实现的,或者理解成实数公理的标准模型.