奥数题（同余的概念及性质）1、 270除以自然数n的余数是15,186除以自然数n余数是16,那么自然数n应该是多少?2、 999+2×999+3×999+……+999x999 除以13所得的余数是多少?3、 有三个吉利数168/518/

Question

奥数题（同余的概念及性质）
1、 270除以自然数n的余数是15,186除以自然数n余数是16,那么自然数n应该是多少?
2、 999+2×999+3×999+……+999x999 除以13所得的余数是多少?
3、 有三个吉利数168/518/666,用它们分别除以同一个自然数,168余（a+5）,518余（a+7）,666余（a+10）,求这个自然数
4、 如果2005和1783除以某一个自然数n时,他们的余数分别是3和2,那么n是多少?
5、 今天是星期五,再过 365的365次方 天是星期几?
6、 203×203×203×203×……×203（2005个203）颗子弹装入盒子,每盒装6颗,最后余下多少颗?

Answer 1

用数学语言表达如下：
1.由已知得
270-15≡186-16≡0 (mod n)
即255≡170≡0 (mod n)
3×5×17≡2×5×17≡0 (mod n)
故n是255和170的公约数,可能是17或85
2.999+2×999+3×999+……+999x999
=999×(1+2+...+999)
=999×999×500
根据同余的可乘性知
若a≡b（mod m）,c≡d（mod m）,那么ac≡bd（mod m）
999≡11 (mod 13)
500≡6 (mod 13)
故999×999×500≡11×11×6=11×66=11×1=11(mod 13)
余数是11
3.设这个自然数为n,则
168-5≡518-7≡666-10≡a (mod n)
163≡511≡656≡a (mod n)
故511-163≡656-163≡656-511≡0 (mod n)
即348≡493≡145≡0 (mod n)
12×29≡17×29≡5×29≡0 (mod n)
故n是348,493,145的公约数,n=29
4.2005-3≡1783-2≡0 (mod n)
即2002≡1781≡0 (mod n)
13×154≡13×137≡0 (mod n) ,(154,137)=1 ）,（记号（154,137）表示154与137的最大公约数）
故n是2002,1781的公约数,n=13
5.因为365≡1 (mod 7)
所以由同余的可乘性,若a≡b（mod m）,c≡d（mod m）,那么ac≡bd（mod m）知
365^365≡1^365 ≡1(mod 7)
是星期六
6.因为203≡5(mod 6)
所以由同余的可乘性知
203×203×203×203×……×203≡5×5×...×5≡5×25×25×...×25≡5×1×1×...×1≡5 (mod 6)
最后余下5颗