在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”,例如点(-1,-1),(0,0),(2,2),…都是“梦之点”,显然,这样的“梦之点”有无数个.(1)若点P(2
在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”,例如点(-1,-1),(0,0),(,),…都是“梦之点”,显然,这样的“梦之点”有无数个.
(1)若点P(2,m)是反比例函数y=(n为常数,n≠0)的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式;
(2)函数y=3kx+s-1(k,s是常数)的图象上存在“梦之点”吗?若存在,请求出“梦之点”的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若二次函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a>0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1,x1),B(x2,x2),且满足-2<x1<2,|x1-x2|=2,令t=b2-2b+,试求出t的取值范围.
答案和解析
(1)∵点P(2,m)是“梦之点”,
∴m=2,
∵点P(2,2)在反比例函数y=
(n为常数,n≠0)的图象上,
∴n=2×2=4,
∴反比例函数的解析式为y=;
(2)假设函数y=3kx+s-1(k,s是常数)的图象上存在“梦之点”(x,x),
则有x=3kx+s-1,
整理,得(3k-1)x=1-s,
当3k-1≠0,即k≠时,解得x=;
当3k-1=0,1-s=0,即k=,s=1时,x有无穷多解;
当3k-1=0,1-s≠0,即k=,s≠1时,x无解;
综上所述,当k≠时,“梦之点”的坐标为(,);当k=,s=1时,“梦之点”有无数个;当k=,s≠1时,不存在“梦之点”;
(3)∵二次函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a>0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1,x1),B(x2,x2),
∴x1=ax12+bx1+1,x2=ax22+bx2+1,
∴ax12+(b-1)x1+1=0,ax22+(b-1)x2+1=0,
∴x1,x2是一元二次方程ax2+(b-1)x+1=0的两个不等实根,
∴x1+x2=,x1•x2=,
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2=()2-4•==4,
∴b2-2b=4a2+4a-1=(2a+1)2-2,
∴t=b2-2b+=(2a+1)2-2+=(2a+1)2+.
∵-2<x1<2,|x1-x2|=2,
∴-4<x2<0或0<x2<4,
∴-4<x2<4,
∴-8<x1•x2<8,
∴-8<<8,
∵a>0,
∴a>
∴(2a+1)2+>+=<
作业帮用户
2017-11-09
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