在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（-1，-1），（0，0），（2，2），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2

Question

在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（-1，-1），（0，0），（√(2)，√(2)），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y=(n)/(x)（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+s-1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a>0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且满足-2<x₁<2，|x₁-x₂|=2，令t=b²-2b+(157)/(48)，试求出t的取值范围．

Answer 1

（1）∵点P（2，m）是“梦之点”，
∴m=2，
∵点P（2，2）在反比例函数y=(n)/(x)（n为常数，n≠0）的图象上，
∴n=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=(4)/(x)；

（2）假设函数y=3kx+s-1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），
则有x=3kx+s-1，
整理，得（3k-1）x=1-s，
当3k-1≠0，即k≠(1)/(3)时，解得x=(1-s)/(3k-1)；
当3k-1=0，1-s=0，即k=(1)/(3)，s=1时，x有无穷多解；
当3k-1=0，1-s≠0，即k=(1)/(3)，s≠1时，x无解；
综上所述，当k≠(1)/(3)时，“梦之点”的坐标为（(1-s)/(3k-1)，(1-s)/(3k-1)）；当k=(1)/(3)，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=(1)/(3)，s≠1时，不存在“梦之点”；

（3）∵二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a>0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
∴x₁=ax₁²+bx₁+1，x₂=ax₂²+bx₂+1，
∴ax₁²+（b-1）x₁+1=0，ax₂²+（b-1）x₂+1=0，
∴x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b-1）x+1=0的两个不等实根，
∴x₁+x₂=(1-b)/(a)，x₁•x₂=(1)/(a)，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（(1-b)/(a)）²-4•(1)/(a)=(b2-2b+1-4a)/(a2)=4，
∴b²-2b=4a²+4a-1=（2a+1）²-2，
∴t=b²-2b+(157)/(48)=（2a+1）²-2+(157)/(48)=（2a+1）²+(61)/(48)．
∵-2<x₁<2，|x₁-x₂|=2，
∴-4<x₂<0或0<x₂<4，
∴-4<x₂<4，
∴-8<x₁•x₂<8，
∴-8<(1)/(a)<8，
∵a>0，
∴a>(1)/(8)
∴（2a+1）²+(61)/(48)>(25)/(16)+(61)/(48)=(17)/(6)<

作业帮用户 2017-11-09 举报