数学物理方程的主要类容是什么?不少于1500字.

Question

数学物理方程的主要类容是什么?不少于1500字.

Answer 1

描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式,特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程,例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此.这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程就是所谓的数学物理方程.当然,几何学中的很多问题也是可以用偏微分方程来描述的.
　　人们对偏微分方程的研究,从微分学产生后不久就开始了.例如,18世纪初期及对弦线的横向振动研究,其后,对热传导理论的研究,以及和对流体力学、对位函数的研究,都获得相应的数学物理方程信其有效的解法.到19世纪中叶,进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论,如方程的分类、特征理论等,这便是经典的偏微分方程理论的范畴.
　　然而到了20世纪随着科学技术的不断发展,在科学实践中提出了数学物理方程的新问题,电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段.又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发展,为深入研究偏微分方程提供了有力的工具.因而,20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展,这些发展呈如下特点和趋势：
　　一、在许多自然科学及工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程,即使一些线性偏微分方程作近似处理的问题,由于研究的深入,也必须重新考虑非线性效应.对非线性偏微分方程研究,难度大得多,然而对线性偏微分方程的已有结果,将提供很多有益的启示.
　　二、实践中的是由很多因素联合作用和相互影响的.所以其数学模型多是非线性偏微分方程组.如反应扩散方程组,流体力学方程组电磁流体力学方程组,辐射流体方程组等,在数学上称双曲－抛物方程组.
　　三、数学物理方程不再只是描述物理学、力学等工程过程的数学形式.而目前在化学、生物学、医学、农业、环保领域,甚至在经济等社会科学住房领域都不断提出一些非常重要的偏微分方程.
　　四、一个实际模型的数学描述,除了描述过程的方程（或方程）外,还应有定解条件（如初始条件及边值条件）.传统的描述,这些条件是线性的,逐点表示的.而现在提出的很多定解条件是非线性的,特别是非局部的.对非局部边值问题的研究是一个新的非常有意义的领域.
　　五、与数学其他分支的关系.例如几何学中提出了很多重要的非线性偏微分方程,如极小曲面方程,调和映照方程,方程等等.泛函分析、拓扑学及群论等现代工具在偏微分方程的理论研究中被广泛应用,例如空间为研究线性信非线性偏微分方程提供了强有力的框架和工具.广义函数的应用使得经典的线性微分方程理论更系统完善.再就是计算机的广泛应用,计算方法的快速发展,特别是有限元广泛　的应用,使得对偏微分方程的研究得以在实践中实现和检验.
　　用数学方法处理应用问题时,首先是要建立合理的数学模型,而很多情况下这种模型是偏微分方程.一个模型的建立是一个相当复杂的过程.
讲授大纲与各章的基本要求
第一章 波动方程
教学要点：
通过本章的教学使学生初步了解数理方程方法及特点,掌握方程的解法,及所表示的物理意义.
1．\x09使学生了解波动方程的导出方法.
2．\x09领会定解条件及意义.
3．\x09熟练掌握初边值问题的分离变量法解方程.
4．\x09能解高维波动方程的柯西问题.
5．\x09明确波的传播与衰减的意义.
6．\x09用能量不等式确定方程解的唯一性和稳定性.
教学时数：20学时
教学内容：
第一节\x09方程的导出、定解条件
第二节\x09达朗贝尔公式、波的传播
第三节\x09初边值问题的分离变量法
第四节\x09高维波动方程的柯西问题
第五节\x09波的传导与衰减
第六节\x09能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
考核要求：
第一节\x09方程的导出、定解条件 （领会与应用）
第二节\x09达朗贝尔公式、波的传播 （领会）
第三节\x09初边值问题的分离变量法 （领会与应用）
第四节\x09高维波动方程的柯西问题 （领会与应用）
第五节\x09波的传导与衰减 （领会）
第六节\x09能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性 （领会与应用）
第二章 热传导方程
教学要点：
通过本章的教学使学生初步了解通过物理原理建立热传导方程,能用分离变量法解初边值问题,用傅立叶变换对柯西问题求解,用极值原理确定定解问题解的唯一性和稳定性.
教学时数：15学时
教学内容：
第一节\x09热传导方程及其定解问题的导出
第二节\x09初边值问题的分离变量法
第三节\x09柯西问题
第四节\x09极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性
考核要求：
第一节\x09热传导方程及其定解问题的导出 （领会）
第二节\x09初边值问题的分离变量法 （领会与应用）
第三节\x09柯西问题 （领会与应用）
第四节\x09极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 （领会与应用）
第三章 调和方程
教学要点：
通过本章的教学使学生能够建立调和方程,明确定解条件,熟练掌握格林公式及其应用,了解格林函数,及用强极值原理判定第二边值问题解的唯一性.
教学时数：15学时
教学内容：
第一节\x09建立方程、定解条件
第二节\x09格林公式及其应用
第三节\x09格林函数
第四节\x09强极值原理、第二边值问题解的唯一性
考核要求：
第一节\x09建立方程、定解条件 （应用）
第二节\x09格林公式及其应用 （领会与应用）
第三节\x09格林函数 （领会）
第四节\x09强极值原理、第二边值问题解的唯一性 （领会与应用）
第四章\x09二阶线性偏微分方程的分类与总结
教学要点:
通过本章的教学使学生初步掌握二阶线性方程的分类方法,二阶线性方程的特征理论,三类方程的特点.
教学时数：12学时
教学内容：
第一节\x09二阶线性方程的分类
第二节\x09二阶线性方程的特征理论
第三节\x09三类方程的比较
考核要求：
第一节\x09二阶线性方程的分类 （识记与领会）
第二节\x09二阶线性方程的特征理论 （识记与领会）
第三节\x09三类方程的比较 （识记与领会）
第五章 积分论
教学要点:
通过本章的教学使学生初步了解一阶偏微分方程组的概念及特征理论,明确两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题及定解问题,掌握二级数解法.
教学时数：10学时
教学内容：
第一节\x09引言 1.一阶偏微分方程组的例子 2.一阶方程组与高阶方程的关系,
第二节\x09两个自变量领子的一阶线性偏微分方程的特征理论.
第三节\x09两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题
第四节\x09两个自变量的线性双曲型方程组的其它定解问题
第五节\x09二级数解法 (应用)
考核要求：
第一节\x09引言 1.一阶偏微分方程组的例子 2.一阶方程组与高阶方程的关系,(领会)
第二节\x09两个自变量领子的一阶线性偏微分方程的特征理论. (识记与领会)
第三节\x09两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 (识记与领会)
第四节\x09两个自变量的线性双曲型方程组的其它定解问题 (识记与领会)
三.推荐教材和参考数目
1.《数学物理方程》,谷超豪等编,第二版,高等教育出版社,2002
2．《数学物理方程》,吉洪诺夫等编,黄克顾译,第二版,高等教育出版社,1961
3．《数学物理方法》,南京工学院数学教研组编,高等教育出版社, 1982
4．《高等数学》,四川大学数学系编,第四版,人民教育出版社,1979