用量子技术生产十字元件时用到了图甲中的装置：四个挨得很近的圆是半径均为R的光滑绝缘圆柱体的横截面，它们形成四个非常细窄的狭缝a、b、c、d和一个类十字空腔，圆柱和空腔所在的

Question

用量子技术生产十字元件时用到了图甲中的装置：四个挨得很近的圆是半径均为R的光滑绝缘圆柱体的横截面，它们形成四个非常细窄的狭缝a、b、c、d和一个类十字空腔，圆柱和空腔所在的区域均存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调节．质量为m、电荷量为q、速度为v的带正电离子，从狭缝a处射入空腔内，速度方向在纸面内且与两圆相切．设离子在空腔内与圆柱体最多只发生一次碰撞，碰撞时间极短且速度大小不变；速度方向的改变遵循光的反射定律．

（1）若B的大小调节为(mv)/(qR)，离子从何处离开空腔？并求出它在磁场中运动的时间t；
（2）为使离子从狭缝d处离开空腔，B应调至多大？
（3）当从狭缝d处射出的离子垂直极板从A孔进入由平行金属板M、N构成的接收器时，两板间立即加上图乙所示变化周期为T的电压，则U₀为多大时，该离子将不会从B孔射出？两板相距L（L>vT），板间可视为匀强电场．

Answer 1

（1）离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力作向心力，所以有Bvq=(mv2)/(r)，所以，r=(mv)/(Bq)=R，
粒子做圆周运动的周期T′=(2πr)/(v)=(2πR)/(v)；
由于离子在a点向上偏转，则离子从狭缝b离开空腔，它在磁场在运动的时间t=(1)/(4)T′=(πR)/(2v)；
（2）因为离子在a点的圆心位于a点的上方，又有离子在空腔内与圆柱体最多只发生一次碰撞，碰撞时间极短且速度大小不变；速度方向的改变遵循光的反射定律，
所以，粒子必与圆柱体碰撞一次，且碰撞位置在狭缝a，d的垂直平分线上，则如图所示，

则有r²=（r-R+Rcos45°）²+（R+R-Rsin45°）²；
所以，r=3R；又有r=(mv)/(B′q)，所以，B′=(mv)/(qr)=(mv)/(3qR)；
（3）两板间立即加上图乙所示变化周期为T的电压，则粒子速度变化如图所示，
，
那么要是离子不从B孔射出，则v-(qU0)/(mL)•(T)/(2)=-v，所以，U0=(2v•2mL)/(qT)=(4mLv)/(qT)．
答：（1）若B的大小调节为(mv)/(qR)，离子从狭缝b离开空腔，它在磁场中运动的时间t为(πR)/(2v)；
（2）为使离子从狭缝d处离开空腔，B应调至(mv)/(3qR)；
（3）当从狭缝d处射出的离子垂直极板从A孔进入由平行金属板M、N构成的接收器时，两板间立即加上图乙所示变化周期为T的电压，则U₀为(4mLv)/(qT)时，该离子将不会从B孔射出．