关于向量.今晚10点前要.(1)在△ABC中,已知D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点,求证：向量AD+向量BE+向量CE=向量0(2)在平行四边形中,对角线AC、BD交于点O,P为平面上任意一点,求证：向量PA+向量PB+向量

Question

关于向量.今晚10点前要.
(1)在△ABC中,已知D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点,求证：
向量AD+向量BE+向量CE=向量0
(2)在平行四边形中,对角线AC、BD交于点O,P为平面上任意一点,求证：
向量PA+向量PB+向量PC+向量PD=4向量PO
(3)设O是△ABC的外心,H是△ABC的垂心,求证：
向量OH=向量OA+向量OB+向量OC
、、、、、、、全部答出者给100分,没有答全不给分、、、

Answer 1

1
设AD BE CE交与O
向量AD+向量BE+向量CF
=向量AO+向量OD+向量BO+向量OE+向量CO+向量OF
=(向量AO+向量OF)+(向量BO+向量OD)+(向量CO+向量OE)
=向量AF+向量BD+向量CE
=1/2(向量AB+向量BC+向量CA)=0
2
向量PA+向量PB+向量PC+向量PD
=向量PO+向量OA+向量PO+向量OB+向量PO+向量OC+向量PO+向量OD
=4向量PO+向量OA+向量OB+向量OC+向量OD
=4向量PO+(向量OA+向量OC)+(向量OB+向量OD)
=4向量PO
3
向量AH*向量BC=0 (向量OH-向量OA)*向量BC=0
(向量OB+向量OC)*向量BC=(向量OB+向量OC)*(向量OB-向量OC)
=向量OB平方-向量OC平方=0
则向量OH-向量OA‖向量OB+向量OC
故（向量OH-向量OA-向量OB-向量OC)*向量BC=0
同理(向量OH-向量OA-向量OB-向量OC)*向量AC=0
若(向量OH-向量OA-向量OB-向量OC)不为零向量 则BC‖AC 但BC与AC相交
所以 (向量OH-向量OA-向量OB-向量OC)为零向量
所以 向量OH=向量OA+向量OB+向量OC