请帮我用向量法接一下这个题,在正三棱柱中底面ABC的边长为2a,侧棱AA1=2a,M,N分别为AA1,BC的中点,求直线MC1与平面MNB所成角的正弦值.不要用体积代换,要用向量法!我算了好半天就是算不得答案,差

Question

请帮我用向量法接一下这个题,
在正三棱柱中底面ABC的边长为2a,侧棱AA1=2a,M,N分别为AA1,BC的中点,求直线MC1与平面MNB所成角的正弦值.
不要用体积代换,要用向量法!我算了好半天就是算不得答案,
差点忘记悬赏了……罪过

Answer 1

如图做一条线C1D与A1C1垂直   建立空间直角坐标系
A1（2a,0,0)  M (2a,0,a) B(√3 a,a,2a)  N (√3/2 a,a/2,2a)
 MC1 (-2a,0,-a)  MN((√3/2  -2)a ,a/2.a)  NB(√3/2 a,a/2,0)
设平面MNB的法向量是n  (x,y,z)
(√3/2  -2)a x +a/2y+az=0
√3/2 ax+a/2y=0
令y=1  则 x=-(√3)/3  z=(2√3)/3
法向量是n  (-(√3)/3,1,(2√3)/3)
设MC1与平面MNB所成角是θ
sinθ=|cos|=[2(√3)a/3 -(2√3)a/3 ]/|n||MC1|
                 =0