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在三角形ABC中国,若对任意γ属于R,都有|AB向量+γAC向量|≥|BC向量|.则三角形ABC一定为直角三角形.为什么?求证.
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在三角形ABC中国,若对任意γ属于R,都有|AB向量+γAC向量|≥|BC向量|.则三角形ABC一定为直角三角形.为什么?求证.
▼优质解答
答案和解析
法一：用几何意义做.|向量AB+γ*向量AC|=|向量BA+（-γ）*向量AC|=|由B指向线AC上一点的向量|,其最小值为B到AC的距离.再结合题设知 B到AC距离≥|向量BC|,因而 B到AC距离=|向量BC|（距离,就是最短的,所以又有 B到AC距离≤|向量BC|）,因而BC⊥AC.
法二：设 向量AB,向量AC夹角为θ.则 |向量AB+γ*向量AC|²=AB²+y²*AC²+2*y*AB*AC*cosθ=（y*AC+ABcosθ）²+AB²sin²θ ≥ AB²sin²θ（当y*AC+ABcosθ=0时取等）.∴|向量AB+γ*向量AC|的最小值为ABsinθ.由题有 ABsinθ≥BC
另一方面,|向量BC|²=（向量AB - 向量AC）²=AB²+AC²-2*AB*ACcosθ=（AC-ABcosθ）²+AB²sin²θ≥ AB²sin²θ,故而BC≥ABsinθ
∴BC=ABsinθ ∴BC⊥AC
法二：设 向量AB,向量AC夹角为θ.则 |向量AB+γ*向量AC|²=AB²+y²*AC²+2*y*AB*AC*cosθ=（y*AC+ABcosθ）²+AB²sin²θ ≥ AB²sin²θ（当y*AC+ABcosθ=0时取等）.∴|向量AB+γ*向量AC|的最小值为ABsinθ.由题有 ABsinθ≥BC
另一方面,|向量BC|²=（向量AB - 向量AC）²=AB²+AC²-2*AB*ACcosθ=（AC-ABcosθ）²+AB²sin²θ≥ AB²sin²θ,故而BC≥ABsinθ
∴BC=ABsinθ ∴BC⊥AC
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