向量,与三角形结合的问题设0是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足向量0P＝向量0A＋λ（向量AB/|向量AB| 向量AC/|向量AC|）（λ≧0）,则点P的轨迹一定通过三角形A B C 的什么心?

Question

向量,与三角形结合的问题
设0是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足向量0P＝向量0A＋λ（向量AB/|向量AB| 向量AC/|向量AC|）（λ≧0）,则点P的轨迹一定通过三角形A B C 的什么心?

Answer 1

向量AB/|向量AB|的意义：表示与向量AB同向的单位向量e1,
同理,向量AC/|向量AC|的意义：表示与向量AC同向的单位向量e2,
其次理解向量加法的几何意义：
向量AB/|向量AB|+向量AC/|向量AC|表示以e1和e2为邻边的平行四边形的对角线所对应的向量,
又因为向量e1与向量e2都是单位向量,所以此时的平行四边形为菱形,而菱形的对角线平分对角,所以λ（向量AB/|向量AB|+向量AC/|向量AC|）表示与角BAC的平分线共线的向量,
又向量OP-向量OA=向量AP,
∴向量AP与角BAC的平分线共线,
即AP是角BAC的平分线,
而三角形的内心为角平分线的交点,
∴三角形的内心在AP上,即P的轨迹一定通过三角形的内心.