已知一直角三角形,直角边长为根号三、二,如何求三角形内一点,到三个顶点距离和最小?

Question

已知一直角三角形,直角边长为根号三、二,如何求三角形内一点,到三个顶点距离和最小?

Answer 1

如果是钝角三角形,只有在a边上截取线段才能做出符合条件的正方形.唯一所以最大.
如果是锐角或者直角三角形,可以这样考虑.由于给定了一个三角形,我们设面积为S是个定值.可知S=1/2*abSinC（acSinB或者bcSinA也行,先假设一个情况）.设在b边上截取线段长为x,则b边上的高为2S/b,由相似三角形的比例关系可知,x:b=(2S/b-x):(2S/b),可以化简为x=2sb/(2s+b^2)=2s/(2s/b+b),分母可以理解为b与其对应边上的高的和,若使得x有最大值,则要保证分母最小,当且仅当b^2=2S=abSinC即b=aSinC的时候成立.这里SinC=b/a可以理解为直角三角形在直角边上截取线段能达到面积最大,如果是锐角三角形,则只能在b或者c边上截取可能出现最大值,因为最长边a与其对应高不能相等,当然要取得最大值是要满足上面的条件的.
也许有疏漏的地方,请楼主批判的看我的答案,主要是给你提供个分析这个问题的方法.