数学向量几何应用的问题正三角形ABC中,D、E分别是AB、BC上的三等分点,且AE、CD交与点P,求证：BP⊥DC

Question

数学向量几何应用的问题
正三角形ABC中,D、E分别是AB、BC上的三等分点,且AE、CD交与点P,求证：BP⊥DC

Answer 1

因为D、E为AB、BC的三等分点,
所以三角形BPE的面积=1/2三角形CPE面积,三角形BAE的面积=1/2三角形CAE面积
从而,三角形ABP的面积=1/2三角形ACP面积
同理,三角形CAP的面积=1/2三角形CBP面积
所以,三角形BPE面积=1/3三角形CBP的面积=4/3三角形ABP面积
所以EP:AP=4:3  EP=4/7*EA
以下非特别声明,类似AB的形式表示向量AB.
PB=PE+EB=4/7*AE-BE=4/7*(AB+BE)-BE=4/7*AB-3/7*1/3*BC=4/7*AB-1/7*BC
DC=DB+BC=2/3*AB+BC
PB·DC=（4/7*AB-1/7*BC）·（2/3*AB+BC）
      =8/21*|AB|^2+10/21*AB·BC-1/7*|BC|^2
      =8/21*|AB|^2+10/21*|AB||BC|cos120°-1/7*|BC|^2
      =8/21*|AB|^2-5/21*|AB|^2-3/21*|BC|^2
      =0
所以 BP⊥DC