关于向量和三角形的题目,急几已知三角形oab,g为三角形oab的重心,pq为过g点的直线并且与oa的交点为p,与ob的交点为q.向量op=m倍的向量向量oa,向量oq=n倍的向量ob.求证1/m+1/n=3

Question

关于向量和三角形的题目,急几
已知三角形oab,g为三角形oab的重心,pq为过g点的直线并且与oa的交点为p,与ob的交点为q.向量op=m倍的向量向量oa,向量oq=n倍的向量ob.求证1/m+1/n=3

Answer 1

我们用坐标法解决,设三角形ABC重心D,过D的线与AB,AV交与E,F.
只用证AB/AE+AC/AF=3,对不对?
把B(0,0)放在原点,A(M,N) C(P,0)
由重心坐标公式D((M+P)/3,N/3)
由于E在直线AB上,设E分AB的比为a,F分AC的比为b,
由定比分点公式．
E（M/(1+a),N/(1+a))
F((M+bP)/(1+b),N/(1+b))
E,F,D三点共线,向量EF与向量ED共线．
有比例关系
[N/3-N/（1+a)]/[(M+P)/3-M/(1+a)]=[N/(1+b)-N/3]/[(M+bP)/(1+b)-(M+P)/3]
整理得,3b/[(1+a)(1+b)]=(b-1)/(1+b)+1/(1+a)
即ab=a+b
1/a+1/b=1
(a+1)/a+(b+1)/b=3
AB/AE+AC/AF=3
也就是你原题里的 1/m+1/n=3