M`N是正数,N分之M的3次方+M分之N的3次方大于等于M的平方加N的平方怎么证明?

Question

M`N是正数,N分之M的3次方+M分之N的3次方大于等于M的平方加N的平方怎么证明?

Answer 1

方法一：
考虑M、N的大小,不失一般性地设M≤N,则：M^3≤N^3.
由排序不等式：顺序和不小于倒序和.
有：M×M^3＋N×N^3≥N×M^3＋M×N^3,两边同除以MN,得：M^3/N＋N^3/M≥M^2＋N^2.
方法二：
考虑M、N的大小,不失一般性地设M≤N,则：M^3≤N^3.
∴（N^3－M^3）N≥（N^3－M^3）M,∴N^4－M^3N≥N^3M－M^4,∴N^4＋M^4≥N^3M＋M^3N,
两边同除以MN,得：M^3/N＋N^3/M≥M^2＋N^2.